Формула сложения вероятностей для несовместных событий: вероятность наступления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей наступления этих событий (по отдельности), то есть (или) = () + ().
Формулы стереометрии для егэ профиль 2023
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ. Study with Quizlet and memorize flashcards containing terms like Площадь квадрата, Периметр квадрата, Длина диагонали квадрата and more. подготовка к ЕГЭ. № 3 Стереометрия Формулы объема стереометрия. Стереометрия ЕГЭ профиль. Стереометрия 11 класс таблица. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.
Планиметрия все формулы для ЕГЭ
К этой теме относятся почти все задачи по стереометрии, предлагавшиеся на ЕГЭ и в различных работах МИОО начиная с 2009–2010 учебного года. К этой теме относятся почти все задачи по стереометрии, предлагавшиеся на ЕГЭ и в различных работах МИОО начиная с 2009–2010 учебного года. Формулы для профильного егэ-2022 по математике геометрия планиметрия 2d площади фигур: окружность:s=pir2 треугольник:s=1/2ah параллелограмм:s=ah четырхугольник:s=1/2d1d2sinvarphiу ромба varphi=90 трапеция:s=ab/2h стереометрия 3d. 1. «Все формулы геометрии» 2. «Многоугольники» 3. «Топ-5 заданий №21 с реального ЕГЭ» 4. «Логарифмы и их свойства».
Формулы для ЕГЭ по математике профиль
| Теория по стереометрии для егэ профиль куб | Study with Quizlet and memorize flashcards containing terms like Площадь квадрата, Периметр квадрата, Длина диагонали квадрата and more. |
| Планиметрия все формулы для ЕГЭ | Стереометрия ЕГЭ формулы объемов и площадей. |
| ВСЕ формулы по математике для ЕГЭ | Формулы и методы для задачи №13 (стереометрия). |
| Шпаргалки и формулы по стереометрии — «Шпаргалка ЕГЭ» | Комбинация тел Тригонометрические уравнения Уравнения Стереометрия Стереометрия. |
| Теория по математике на тему "Формулы стереометрии" | Все формулы по математике для подготовки к ЕГЭ 2022. Ниже публикуем шпаргалки с формулами по основным разделам курса математики. |
Формулы нахождения площади фигур
- Тригонометрия на ЕГЭ: 5 формул для базы и профиля
- Объем куба
- Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
- Математические формулы по алгебре и геометрии для ЕГЭ
- Формулы для ЕГЭ по профильной математике. Геометрия
- Вся геометрия для егэ профиль
Стереометрия: формулы и методы
Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Сфера, шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Тетраэдр Радиус описанной сферы тетраэдра.
Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра. Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Сфера, шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Тетраэдр Радиус описанной сферы тетраэдра.
Поэтому и формулы тригонометрии стоит изучить. Все нужные формулы для решения задач собрали в «Шпаргалке по тригонометрии». Помни, что знание формул не гарантирует успешную сдачу экзамена.
Важно уметь применять их на практике. Записывайся в «Сотку» , мы научим решать задачи разной сложности, поможем полюбить математику и получить нужные баллы на ЕГЭ. А еще больше полезных советов и лайфхаков для решения задач можно найти в телеграм-канале «Сотки» по профильной математике. Было полезно.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны. Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то: Перпендикуляр короче наклонных.
Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
Формулы по стереометрии для ЕГЭ. Шпаргалка по стереометрии для ЕГЭ
| Формулы стереометрии. Общий обзор! | Формулы для профильного егэ-2022 по математике геометрия планиметрия 2d площади фигур: окружность:s=pir2 треугольник:s=1/2ah параллелограмм:s=ah четырхугольник:s=1/2d1d2sinvarphiу ромба varphi=90 трапеция:s=ab/2h стереометрия 3d. |
| Формулы стереометрии. Общий обзор! | Вся теория и формулы для 13 задания ЕГЭ |
Справочник с основными фактами стереометрии
| ЕГЭ 2024. Математика. Профиль. Разбор задания 3. Стереометрия. | Стереометрия. Е. А. Ширяева (). lреб = 4(a+ b+ c) d2 =a2+ b2+ c2 1 Sбок = 2. |
| Все формулы стереометрии для егэ профиль | 2: Все Формулы Стереометрии Для Задания № 2, Профильная Математика Егэ 2023, Умскул. |
| Формулы стереометрии. Общий обзор! - ЕГЭ Live | стереометрия формулы для егэ. Выучить формулы по математике – это еще не все, что надо для успешной сдачи ЕГЭ. |
Справочный материал по стереометрии
Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57. Тип 2. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. В общем как бы всё как всегда в любимых ваших традициях обучение будет с абсолютного нуля задавайте абсолютно любые вопросы я буду на них с удовольствием отвечать....
Ященко 36 вариантов. Мы с вами Шли шли и дошли до стереометрии Это задание номер три вариант первый Итак В цилиндрический сосуд налили 2100 см кубических воды уровень жидкости оказался.... Все типы 3 задание егэ математика профиль стереометрия Умскул - Артур Шарафиев 20. Вечно ступор то на пирамиде, то на цилиндре, какие-то непонятные коэффициенты в формулах.
Откуда вообще берутся, как это все выучить? Тип 1.
На выполнение работы отводится 3 часа 180 минут. Ответы к заданиям записываются по приведённым ниже образцам в виде числа или последовательности цифр. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком.
Объемные тела условно делят на многогранники состоят из нескольких многоугольников и поверхности вращения есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура. На вычисление объема это не влияет. В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом.
Формулы объемов и площадей геометрических фигур
Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур: таблица. Все формулы которые понадобятся на егэ по математике профиль На нашем сайте Вы найдете все необходимые формулы и примеры решения, которые помогут успешно. Стереометрия ЕГЭ формулы объемов и площадей. Компактно собраны формулы по стереометрии, планиметрии, преобразование выражений, решения прототипов по теме "Уравнения" и "Теория вероятностей". Материал позволит лучше закрепить материал. Материал по математике по теме "Формулы стереометрии" Математика 11 класс. это задачи по стереометрии, или простыми словами - задачи по геометрии с объёмными фигурами.
Формулы стереометрии для егэ профиль - фото сборник
Здесь уже больше вариантов, в которых можно встретиться с тригонометрией. Давайте посмотрим на Части 1 и 2. Для успешного решения подойдут базовые навыки работы с тригонометрией. Да-да, тригонометрия на ЕГЭ умеет прятаться и в Части 2. Давайте посмотрим на эти задания. Это уравнение второй части, в котором ученики как раз ожидают увидеть тригонометрию, хотя она там бывает не всегда!
Ведь, как я и сказала выше, в геометрии она тоже бывает! Профильный ЕГЭ по математике: что нужно знать к 2022 году? К сожалению, их действительно много.
Структура экзамена Задания ЕГЭ профильной математики разделены на два блока. Поэтому при подготовке к ЕГЭ теорию по математике всегда подкрепляйте решением практических задач.
Как будут распределять баллы Задания части первой КИМов по математике близки к тестам ЕГЭ базового уровня, поэтому высокого балла на них набрать невозможно. Баллы за каждое задание по математике профильного уровня распределились так: Длительность экзамена и правила поведения на ЕГЭ Для выполнения экзаменационной работы отведено 3 часа 55 минут 235 минут. В это время ученик не должен: За подобные действия экзаменующегося могут выдворить из аудитории. На государственный экзамен по математике разрешено приносить с собой только линейку, остальные материалы вам выдадут непосредственно перед ЕГЭ. Справочные материалы выдаются на месте.
Эффективная подготовка — это решение онлайн тестов по математике 2022. Выбирай тренировочные задания и получай максимальный балл! Формулы стереометрии. Общий обзор! В этой статье общий обзор формул для решения задач по стереометрии.
Нужно сказать, что задачи по стереометрии довольно разнообразны, но они несложны. Это задания на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов. Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся. Остальные требуют небольших усилий, наличия знаний и специальных приёмов.
В будущих статьях мы с вами будем рассматривать все эти задачи, не пропустите! Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара.
Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете. Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ? Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира.
Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир. Потому что это развивает интеллект.
Опыт решения задач, знания правил оформления заданий на экзамене не менее важны. С нами Вы подготовитесь к ЕГЭ наиболее продуктивно.
Теория по математике на тему "Формулы стереометрии"
Объемы фигур стереометрия ЕГЭ. Площади фигур формулы ЕГЭ стереометрия. Формулы для ЕГЭ по математике профиль 2022. Предмет стереометрии. Шпаргалка по стереометрии. Стереометрия чертежи. Все фигуры стереометрии. Площади геометрических фигур формулы таблица.
Формулы нахождения площадей плоских фигур. Формулы площадей плоских фигур по геометрии. Формулы площадей всех геометрических фигур в таблице. Формулы площадей для ЕГЭ профильная математика. Формулы вычисления площадей и объемов геометрических фигур. Формулы объёмов и площадей фигур для ЕГЭ. Формулы площадей всех фигур для ЕГЭ.
Основные формулы планиметрии для ЕГЭ профиль. Планиметрия теория для ЕГЭ формулы. Шпаргалка планиметрия ЕГЭ профиль. Основные формулы планиметрии для ЕГЭ. Формулы площади и объёма геометрических фигур. Объемы геометрических тел формулы. Формулы объема и площади поверхности геометрических фигур.
Формулы объёма геометрических фигур 11 класс. Формулы объёмов и площадей поверхности стереометрических фигур. Основные формулы геометрия 11 класс. Формулы геометрия 11 класс ЕГЭ. Формулы площадей фигур планиметрия. Планиметрия формулы шпаргалка. Формулы планиметрии для ЕГЭ.
Геометрия планиметрия формулы для ЕГЭ. Теоремы планиметрии 10 класс. Площади фигур планиметрия ЕГЭ. Формулы для планиметрии ЕГЭ математика профиль. Формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень 2021. Формулы для ЕГЭ профильная математика 2021. Шпаргалки для ЕГЭ по профильной математике 2022.
Формулы площади и объема всех фигур стереометрия. Стереометрия Базовая математика формулы. Формулы профильная математика ЕГЭ стереометрия. Формулы объёма геометрических фигур 11 класс ЕГЭ. Формулы площадей и объемов фигур по стереометрии. Формулы объема геометрия 11 класс. Формулы объемов Призмы и пирамиды.
Стереометрия Призма формулы. Формулы площадей поверхности многогранников Призма. Площадь поверхности и объем многогранника.
Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз. Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Сфера, шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара. Тетраэдр Радиус описанной сферы тетраэдра. Радиус вписанной в тетраэдр сферы.
Профильная математика. Часть 2 Математика на отлично ЕГЭ 2022. Прямоугольный параллелепипед.
Часть 1 Математика на отлично ЕГЭ 2022. Часть 3 Математика на отлично Облегчи жизнь другим ученикам — поделись!
Формулы геометрии 10-11 класс шпаргалка. Таблица формул по геометрии 9 класс. Формулы геометрии 7-8 класс. Школа Пифагора справочный материал. Школа Пифагора справочные материалы по математике. Шпаргалка по геометрии для ЕГЭ профиль. Шпаргалка ЕГЭ профильная математика геометрия.
Планиметрия теория для ЕГЭ окружность. Основные формулы по планиметрии для ЕГЭ таблица. Формулы геометрия 11 класс ЕГЭ. Формулы геометрия 10 класс шпаргалка. Стереометрия 10 класс шпаргалка. Стереометрия 10 класс основные формулы. Справочные материалы по ге. Все формулы для ЕГЭ по математике профильный шпаргалка. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень.
Формулы для ЕГЭ по математике база 2022. Формулы для ЕГЭ по математике профильный уровень 2022. Формулы площадей и объемов всех фигур. Таблица площадей и объемов геометрических фигур. Формулы площадей поверхности и объёмов всех фигур. Формулы площадей и объемов всех фигур для ЕГЭ. Шпоры по математике школа Пифагора. Школа Пифагора ЕГЭ шпоры. Шпаргалка по геометрии школа Пифагора.
ОГЭ математика площади фигур формулы. Площади фигур в ОГЭ справочные материалы. Основные формулы по геометрии для ОГЭ. Справочный материал для ОГЭ по математике 2023 геометрия. Шпаргалки для ЕГЭ по профильной математике 2022. Формулы для профильной математики ЕГЭ 2021. Шпаргалки ЕГЭ математика база 2022. Основные формулы геометрии таблица. Геометрия 10 класс основные теоремы и формулы.
Основные формулы планиметрии и стереометрии. Формулы стереометрии для ЕГЭ. Справочный материал ЕГЭ математика профиль. Справочные материалы. Справочные материалы тригонометрия. Справочный материал профиль. Стереометрия 11 класс таблица. Формулы для ЕГЭ по математике геометрия стереометрия. Стереометрия формулы для ЕГЭ профиль пирамида.
Теория по стереометрии для ЕГЭ. Теоремы по геометрии 7-8 класс шпаргалка. Формулы по планиметрии шпаргалка. Шпаргалка по формулам планиметрии на ЕГЭ. Стереометрия 10 класс шпаргалка ЕГЭ. Формулы по математике для ЕГЭ база 2021. Справочные материалы ОГЭ математика 9 класс 2022. Справочный материал ОГЭ математика 9 класс 2022. Справочные материалы профильная математика ЕГЭ.
Площади планиметрия для ЕГЭ. Площадь треугольника формула. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ профиль. Формулы по стереометрии. Ыормулыпо стереометрии. Стереометрия тела вращения формулы. Формулы объема тел вращения: цилиндра, конуса и шара. Формулы объема по стереометрии. Формулы геометрии для ЕГЭ по математике профильный.
Шпоры ЕГЭ профильная математика геометрия. ЕГЭ математика база справочные материалы на экзамене. Справочные материалы 9 класс ОГЭ математика. Планиметрия 11 класс формулы. Формулы планиметрии для ЕГЭ шпаргалка. Формулы по геометрии для ЕГЭ стереометрия.
Подборка основных геометрических формул для и егэ по математике
Соответствующие формулы нужно знать наизусть. Формулы по стереометрии. Геометрия (15) Планиметрия (10) Стереометрия (5). Секретные приемы подготовки к ЕГЭ Формулы стереометрии и их применение в задачах Не забыли, как запоминать формулы? Формулы математика профиль ЕГЭ геометрия. егэ 2024, шкала баллов егэ, огэ 2024, сочинение по русскому, итоговое сочинение. Соответствующие формулы нужно знать наизусть.
Тригонометрия на ЕГЭ: 5 формул для базы и профиля
Скачать ее можно здесь. Кроме того в задачах могут встретиться прогрессии, о них подробнее мы рассказывали в статье. Геометрия В этом разделе находятся все задачи, которые связаны с геометрическими фигурами. И для их решения тоже есть разные формулы. Как вычислить площадь различных фигур, какие теоремы и свойства помогут в решении задач, — всю необходимую для сдачи ЕГЭ информацию ты можешь найти в нашей «Шпаргалке по планиметрии».
Тригонометрия Синусы и косинусы — одна из самых нелюбимых школьниками тем, но создатели экзамена должны проверить знания. Поэтому и формулы тригонометрии стоит изучить.
Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра или, в данном случае, высоту призмы : где: P осн — периметр основания прямой призмы, l — длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте h. Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник то есть такой, у которого все стороны и все углы равны между собой , а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм: Свойства правильной призмы: Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны между собой. Правильная призма является прямой.
Определение: Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед — это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда. Другие свойства и определения: Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими , а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда — прямоугольники а основания — произвольные параллелограммы , то он называется прямым в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда. Параллелепипед называется наклонным , если не все его боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники то есть кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками , называется прямоугольным. Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда : Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом.
Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также: Абсолютно все рёбра куба равны между собой. Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением: Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба : Пирамида Определения: Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE. Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины. На чертеже это A. Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем — вершины основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания.
В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O. Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны , то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка N. Иными словами, высота отрезок DN , опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку пересечения биссектрис основания. Высоты боковых граней апофемы равны. Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани апофему. Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней апофемы равны. Правильная пирамида Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований.
Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой.
Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие.
Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие.
Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
Правильная призма является прямой. Определение: Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед — это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда. Другие свойства и определения: Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими , а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда — прямоугольники а основания — произвольные параллелограммы , то он называется прямым в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда. Параллелепипед называется наклонным , если не все его боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники то есть кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками , называется прямоугольным. Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда : Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником.
Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также: Абсолютно все рёбра куба равны между собой. Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением: Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба : Пирамида Определения: Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE. Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины. На чертеже это A.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем — вершины основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой как на чертеже высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
На чертеже это, например, AF. Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE. Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания на рисунке правильная треугольная пирамида : Если все боковые ребра SA , SB , SC , SD на чертеже ниже пирамиды равны, то: Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка O. Иными словами, высота отрезок SO , опущенная из вершины такой пирамиды на основание ABCD , попадает в центр описанной вокруг основания окружности, то есть в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания. Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны , то: В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр точка N. Иными словами, высота отрезок DN , опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, то есть в точку пересечения биссектрис основания. Высоты боковых граней апофемы равны.
Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани апофему. Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней апофемы равны. Правильная пирамида Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами: Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды — это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр по определению. Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше. В правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Формулы для объема и площади пирамиды Теорема об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна см. Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно — в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам. Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где: S осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу: где: S бок — площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 — площади боковых граней. Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Определения: — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида.
Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид.
На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы.
Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие. Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше.
Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Важное свойство: Пирамида и цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны. Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.