чудо природы, с которым я предлагаю вам познакомиться. Просмотрите доску «Фракталы» пользователя Katrine в Pinterest. Посмотрите больше идей на темы «фракталы, природа, закономерности в природе». фракталам. Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Геометрия природы» пользователя Мария Иванова в Pinterest. Посмотрите больше идей на темы «фракталы, фрактальное искусство, природа».
Фракталы в природе. Мир вокруг нас. Ч.2
Фрактальную природу имеют многие структуры в природе, они нашли применение в науке и технике. Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Приведем примеры. Долгосрочный прогноз солнечной системы невозможен уравнения являются неинтегрируемыми. Невозможность осуществления до настоящего времени управляемого термоядерного синтеза связана с тем, что нет адекватного представления о хаотическом движении заряженных частиц в системе магнитных линз. Изучение развития яиц насекомых показывает, что морфогенез невозможно понять только из знания молекулярного строения соответствующего генома. Нелинейные процессы приводят к ветвлению. Система может выбрать ту или иную ветвь, последствия выбора однозначно предсказать невозможно, поскольку для каждого из этих решений характерно усиление отклонений. Хотя в каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна.
Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции генетическая информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают множество различных исходов, но наш мир имеет одну единственную историю. Хаос - фундаментальное понятие философии, социологии и естествознания. Оно играло существенную роль уже в мировоззрении философов древности. По их представлениям хаос - состояние материи при отсутствии всех факторов, влияющих на нее и позволяющих выявить ее свойства и структуру. При действии разных факторов из хаоса может рождаться все, что состовляет строение Мироздания, т. Таким образом, Хаос противопоставляется Порядку.
Отсюда и представление о хаосе как о беспорядочном движении. В физику понятие хаоса было введено Л. Больцманом и Дж. В качестве меры хаотичности движения они использовали понятие энтропии. В странном мире хаоса и турбулентности начиная с 70-х г. XX века ученые стали находить непривычную, но вполне определенную упорядоченность, образуемую путем бесконечного в принципе повторения какой-либо исходной формы во все уменьшающемся масштабе по определенному алгоритму, инструкции или формуле фрактальные закономерности. В современной науке фрактальность поведения сложных нелинейных систем считается их неотъемлемым свойством как строго доказанный математический факт. Оказывается, что если система достаточно сложна, то она в своем развитии обязательно проходит через чередующиеся этапы устойчивого и хаотического развития.
Причем сценарии перехода от порядка к хаосу и обратно поддаются классификации, и вновь все многообразие природных процессов распадается на небольшое число качественно подобных. Один из таких сценариев может быть описан с помощью наглядного геометрического образа, рисунка, являющегося фракталом. Речь идет о так называемом логистическом отображении, впервые использованном П. Ферхюльстом в 1838 г. Согласно этой модели, общее число х n особей n-го поколения пропорционально числу х n-1 особей предыдущего поколения с коэффициентом пропорциональности, линейно убывающем в зависимости от этого числа особей. Подобной динамикой обладает и изменение банковского вклада по закону сложного процента, когда начисление линейно зависит от самого вклада. Более того, оказалось, что свойства логистического отображения универсальны, они характерны для динамики любой системы, поведение которой описывается гладкой функцией вблизи ее минимума. Развитие систем, описываемых логистическим отображением, очень напоминает античные натурфилософские и мифологические сценарии рождения мира.
Несмотря ни на что Мандельброт сумел «продвинуть» свои исследования. Более того, всему этому нашлось практическое применение. Множество Мандельброта Почему их называли «монстрами»? Это плохо, так как наш мозг привык работать с визуальными картинками.
С появлением компьютера мы с грехом пополам начали справляться с задачей отрисовывания фракталов. Во-вторых, вычислительные методы, которые нам были раньше известны матанализ и так далее , хорошо работали только с «гладкими» кривыми. Все кривые делятся на два больших класса: спрямляемые и неспрямляемые. На спрямляемую кривую мы можем поставить точки, и тем самым разбить ее на множество прямых отрезков.
Таким образом мы посчитаем длину этой кривой, так как длина традиционно считается только прямыми отрезками. Это как в школе, когда к сложным фигурам прикладывали нитку, а потом нитку распрямляли и прикладывали к линейке. Вся классическая математика связана с таким вот свойством. К фракталам, как мы видим, ниточку не доприкладываешься.
С точки зрения классической механики, также возникают проблемы в взаимодействии с фракталами. Скорость — это вектор. У вектора должны быть направление и величина. Если мы погоним точку по любой неспрямляемой кривой, то мы увидим, что у ее скорости не будет ни направления, ни величины.
Капуста Романеско Реальность такова: все, с чем мы имеем дело в школе: прямые, параболы, синусоиды, — это лишь красивое исключение из правил, которое в природе встречается крайне редко. Мир состоит из «монстров» - из фракталов и других неспрямляемых кривых. А нам хочется все уметь считать, — продолжает Давид.
Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Вот несколько примеров алгебраических фракталов: Множество Мандельброта — это один из самых известных алгебраических фракталов. Он создается путем итеративного применения простой математической формулы к каждой точке на комплексной плоскости.
Результатом является изображение, которое состоит из бесконечного количества деталей и самоподобных структур. Фрактал Жюлиа — это еще один пример алгебраического фрактала, который создается с помощью итеративного применения формулы к каждой точке на комплексной плоскости. Он имеет разнообразные формы и структуры, которые зависят от выбранной формулы и параметров. Бассейны Ньютона также являются примерами алгебраических фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости для функции действительной переменной метод Ньютона называют методом касательных, который обобщается для комплексной плоскости. Алгебраические фракталы обладают приближенной самоподобностью.
Фактически, если вы увеличите маленькую область любого сложного фрактала, а затем проделаете то же самое с маленьким участком этой области, то эти два увеличения будут значительно отличаться друг от друга. Два изображения будут очень похожи в деталях, но они не будут полностью идентичными. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Типичный представитель данного класса фракталов — «плазма». Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число.
Чем больше случайное число - тем более «рваным» будет рисунок. Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, процесса электролиза. При этом получаются объекты, очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так далее. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот.
Плазма Практическая часть исследовательской работы Как программировать фракталы? Изучив фракталы в теории, мне стало интересно, как это работает на практике? Я решил начать построение простых геометрических фракталов с помощью языка программирования Лого. Черепашья графика позволяет наглядно представить геометрические фракталы.
Фракталы в природе.
Молекулярным фракталом оказался микробный фермент — цитратсинтазу цианобактерии, которая спонтанно собирается в структуру, известную как треугольник Серпинского. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым». (с) Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек.
Случайность как художник: учёные обнаружили первую фрактальную молекулу
Это значит, что плоский фрактал в некотором смысле «проще» настоящей плоскости, но «сложнее» прямой. Фракталы также встречаются в природе. Фрактал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Способность Поллока выражать эстетику природы фрактала помогает объяснить непреходящую популярность его работы. Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе.
Фрактальные узоры в природе и искусстве эстетичны и снимают стресс
Как отмечают авторы, лазеры являются практически полной противоположностью природе, так как создаются в максимально приближенных к идеальным условиях: для возникновения когерентного излучения необходим резонатор из безупречно отшлифованных сферических зеркал и усиливающая колебания среда. В 1998 году было предсказано существование фрактальных распределений в поперечных срезах интенсивности некоторых лазеров, однако экспериментальных подтверждений эффекту не было. В результате эта фигура многократно усиливается при отражениях волн внутри резонатора и проявляется на разных масштабах в получающемся лазерном луче. Авторы использовали несколько разных апертур и создали разные плоские фракталы. Теоретические оценки также указывают, что лазеры должны формировать и трехмерные фракталы, но обнаружить их предстоит в будущих исследованиях.
Доведите это до логического завершения, и в итоге вы получите бесконечно длинную береговую линию, содержащую конечное пространство.
Это похоже на парадокс, выдвинутый Хельге фон Кохом и формулированный в Снежинке Коха. Напомним, чтобы построить Снежинку Коха, нужно взять треугольник и превратить центральную треть каждого сегмента в треугольную выпуклость таким образом, чтобы фрактал был симметричным. Каждый выступ, конечно, длиннее исходного сегмента, но все же содержит конечное пространство внутри. Математик Бенуа Мандельброт увидел использовал этот пример для изучения концепции фрактальной размерности. Попутно он доказал, что длина береговой линии напрямую зависит от того, как сильно вы будете приближать ее.
Виды фракталов Абстрактное самоподобное множество представить сложно. Наверняка вы задались вопросом: «А какими они вообще бывают, эти фракталы? Геометрические Здесь все начинается с простой детали — строится такой фрактал от обычной геометрической фигуры. Прямо на этой основе чертится фрагмент, затем снова, и снова... И каждый раз уменьшается масштаб.
На самом деле этот вид бесконечных множеств весьма прост для понимания и воплощения: любой школьник может удивить своего учителя по математике, нарисовав в тетради геометрический фрактал. И даже те, кто далёк от точных наук, смогут найти что-то для себя — в изобразительном искусстве геометрические фракталы использовали Джексон Поллок, Луис Уэйн, Мауриц Корнелис Эшер и другие художники. Весьма простые алгоритмы могут стать почвой для самого причудливого и ветвистого «дерева», которое вы когда-либо видели. Нужно только начертить график. Типовым примером алгебраического фрактала считается множество Мандельброта.
Для его построения используют комплексные числа. Если в процессе итерации это повторение каких-либо действий, не приводящее к вызовам самих себя случайным образом менять любые параметры, получится такой фрактал. Именно поэтому такой тип множества не визуализируется вручную — только в программе. Пожалуй, это самый «виртуозный» вид фракталов. Причём это не фракталы в чистом виде: авторы заимствуют понятия и концепты: отсюда название.
Концептуальный фрактал и вовсе может состоять из нескольких видов. Фракталы в природе После того, как в 1975 году Мандельброт опубликовал свою основополагающую работу о фракталах, одно из первых практических применений появилось в 1978 году, когда Лорен Карпентер захотел создать несколько сгенерированных компьютером гор. Используя фракталы, которые начинались с треугольников, он создал удивительно реалистичный горный хребет.
Самый известный фрактальный узор снежинки известен как снежинка Коха, возникающая из одного равностороннего треугольника, образующего другой, третий и так далее.
Это один из самых ранних описанных фракталов. По мере их роста от ствола отходят ветви, и каждая из этих ветвей сама по себе похожа на меньшее дерево, развивающее свои собственные ветви и свои собственные ответвления. Если вы посмотрите на сложное дерево, то заметите повторение Y-образной формы на всем его протяжении. Такой фрактальный дизайн, подобно спирали суккулентов, помогает деревьям оптимизировать воздействие солнечного света и не позволяет верхним ветвям затенять нижние.
Это явление мастерски продемонстрировано на примере кристаллов меди, которые разветвляются во всех направлениях, как ветви дерева. Каждая «веточка» является новой точкой роста — по мере разветвления она превращается в твердую металлическую медь. Из-за своей древовидной природы и уникального красновато-коричневого цвета кристаллы меди часто выращивают для искусства. Хотя иногда ручьи могут быть расположены по прямой линии, они быстро становятся извилистыми, поскольку приспосабливаются к помехам, таким как норы диких животных.
Всего одна помеха может изменить течение реки и заставить ее изгибаться на всем протяжении.
То есть, зная начальные условия и закон движения системы, можно точно предсказать ее будущее. Именно такое представление о движении во Вселенной характерно для классической, ньютоновской динамики. Хаос же, напротив, подразумевает беспорядочный, случайный процесс, когда ход событий нельзя ни предсказать, ни воспроизвести. Что же представляет собой детермини рованный хаос - казалось бы, невозможное объединение двух противоположных понятий? Начнем с простого опыта. Шарик, подвешенный на нитке, отклоняют от вертикали и отпускают. Возникают колебания. Если шарик отклонили немного, то его движение описывается линейными уравнениями. Если отклонение сделать достаточно большим - уравнения будут уже нелинейными.
Что при этом изменится? В первом случае частота колебаний и, соответственно, период не зависит от степени начального отклонения. Во втором - такая зависимость имеет место. Полный аналог механического маятника как колебательной системы - колебательный контур, или "электрический маятник". В простейшем случае он состоит из катушки индуктивности, конденсатора емкости и резистора сопротивления. Если все три указанных элемента линейны, то колебания в контуре эквивалентны колебаниям линейного маятника. Но если, к примеру, емкость нелинейна, период колебаний будет зависеть от их амплитуды. Динамика колебательного контура определяется двумя переменными, например током в контуре и напряжением на емкости. Если откладывать эти величины вдоль осей Х и Y, то каждому состоянию системы будет соответствовать определенная точка на полученной координатной плоскости. Такую плоскость называют фазовой.
Соответственно, если динамическая система определяется n переменными, то вместо двумерной фазовой плоскости ей можно поставить в соответствие n-мерное фазовое пространство. Теперь начнем воздействовать на наши маятники внешним периодическим сигналом. Реакция линейной и нелинейной систем будет различной. В первом случае постепенно установятся регулярные периодические колебания с той же частотой, что и частота вынуждающего сигнала. На фазовой плоскости такому движению соответствует замкнутая кривая, называемая аттрактором от английского глагола to attract - притягивать , - множество траекторий, характеризующих установившийся процесс. В случае нелинейного маятника могут возникнуть сложные, непериодические колебания, когда траектория на фазовой плоскости не замкнется за сколь угодно долгое время. При этом поведение детерминирован ной системы будет внешне напоминать совершенно случайный процесс - это и есть явление динамического, или детерминированного, хаоса. Образ хаоса в фазовом пространстве - хаотический аттрактор - имеет очень сложную структуру: это фрактал. В силу необычности свойств его называют также странным аттрактором. Почему же система, развивающаяся по вполне определенным законам, ведет себя хаотически?
Влияние посторонних источников шума, а также квантовая вероятность в данном случае ни при чем. Хаос порождается собственной динамикой нелинейной системы - ее свойством экспоненциально быстро разводить сколь угодно близкие траектории. В результате форма траекторий очень сильно зависит от начальных условий. Поясним, что это значит, на примере нелинейного колебательного контура, находящегося под воздействием внешнего периодического сигнала. Внесем в нашу систему небольшое возмущение - изменим немного начальный заряд конденсатора. Тогда колебания в возмущенном и невозмущенном контурах, первоначально практически синхронные, очень скоро станут совершенно разными. Поскольку в реальном физическом эксперименте задать начальные условия можно лишь с конечной точностью, предсказать поведение хаотических систем на длительное время невозможно. Предсказание будущего - Из-за такой малости! Из-за бабочки! Она упала на пол - изящное маленькое создание, способное нарушить равновесие, повалились маленькие костяшки домино...
И грянул гром Насколько упорядочена наша жизнь? Предопределены ли в ней те или иные события? Что предсказуемо на многие годы вперед, а что не подлежит сколько-нибудь надежному прогнозированию даже на небольшие интервалы времени? Человеку постоянно приходится сталкиваться как с упорядоченными, так и с неупорядоченными процессами, порождаемыми различными динамическими системами. Мы знаем, что Солнце встает и заходит каждые 24 часа, и так будет продолжаться в течение всей нашей жизни. Вслед за зимой всегда наступает весна, и вряд ли когда-нибудь будет наоборот. Более или менее регулярно функционируют коммунальные службы, снабжающие нас светом и теплом, учреждения и магазины, а также транспортные системы автобусы, троллейбусы, метро, самолеты, поезда. Нарушения ритмичной работы этих систем вызывают законное возмущение и негодование граждан. Если сбои возникают неоднократно - говорят о хаосе, выражая отрицательное отношение к подобным явлениям. Но в то же время существуют процессы, хорошо известные своей непредсказуемость ю.
Например, подбрасывая монету, мы никогда точно не знаем, что выпадет - "орел" или "решка". Такая непредсказуемость не вызывает тревоги. К гораздо более драматичным последствиям она может привести при игре в рулетку, однако любители испытывать судьбу сознательно идут на этот риск. Почему одни процессы предсказуемы по своим результатам, а другие нет? Может быть, нам просто не хватает каких-то начальных данных для хорошего прогноза? Надо улучшить знания о начальных условиях - и все будет в порядке, и с монетой и с предсказанием погоды. Сказал же Лаплас: дайте мне начальные условия для всей Вселенной, и я вычислю ее будущее. Лаплас ошибался: ему и его современникам не были известны примеры детерминированных динамических систем, прогноз поведения которых на длительное время нельзя осуществить. Лишь в конце XIX столетия французский математик Анри Пуанкаре впервые почувствовал, что такое возможно. Однако прошло еще три четверти века, прежде чем началась эпоха бурного изучения детерминированного хаоса.
Динамические системы можно условно разделить на два типа. У первых траектории движения устойчивы и не могут быть значительно изменены малыми возмущениями. Такие системы предсказуемы - именно потому мы знаем, что Солнце взойдет завтра, через год и через сто лет. Для определения будущего в этом случае достаточно знать уравнения движения и задать начальные условия. Небольшие изменения в значениях последних приведут лишь к несущественной ошибке в прогнозе. К другому типу относятся динамические системы, поведение которых неустойчиво, так что любые сколь угодно малые возмущения быстро в масштабе времени, характерном для этой системы приводят к кардинальному изменению траектории. Как отметил Пуанкаре в своей работе "Наука и метод" 1908 , в неустойчивых системах "совершен но ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное". Таким образом прогнозирование на длительные времена теряет всякий смысл. Пример с нелинейным колебательным контуром, рассмотренный выше, показывает, что хаотическое поведение с непредсказуемым будущим может иметь место даже в очень простых системах.
Реконструкция прошлого Итак, прогноз будущего не всегда возможен. А как обстоит дело с прошлым? Всегда ли можно реконструировать "предсказать", однозначно истолковать прошлое? Казалось бы, здесь проблем быть не должно. Раз траектории удаляются одна от другой при движении вперед, они должны сближаться при движении назад. Так оно и есть. Однако направлений, по которым может происходить схождение или расхождение траекторий в фазовом пространстве, не одно, а несколько. При движении как вперед, так и назад траектории могут сближаться по одной части направлений, но расходиться по другой. Прошлое "не предсказывается"?
ХАОС, ФРАКТАЛЫ И ИНФОРМАЦИЯ
| Фракталы: бесконечность внутри нас | Когда вы думаете о фракталах, вам могут прийти на ум плакаты и футболки Grateful Dead, пульсирующие всеми цветами радуги и вызывающие завихрение сходства. |
| Фракталы в природе | Эволюция знает, как порадовать любителей фракталов и симметрии – 88 фотографий Образец, Флора, Композиция, Закономерности В Природе, Настенные Росписи, Макросъемки, Листья. |
| Что такое фрактал? | О природе ков Виталий7 (Высоцкий В С.). |
| Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения | Фото: Фракталы в природе молния. |
Фрактальные закономерности в природе
Красота фракталов состоит в том, что их "бесконечная" сложность сформирована относительно простыми линиями. Фракталы кажутся нам слишком совершенными, чтобы существовать в реальности, но они не так уж редко встречаются в природе, в частности реализуя себя в виде растений. Найдите нужное среди 30 986 стоковых фото, картинок и изображений роялти-фри на тему «Fractals In Nature» на iStock.
Прибыльная торговля с помощью фрактальности существует?
| Можно ли прибыльно торговать используя фрактальность? | Несмотря на то, что фрактальные фигуры были замечены в природе и сконструированы математиками уже довольно давно, впервые научно обосновать существование фракталов смог Бенуа Мандельброт лишь в 1970-х годах. |
| Прибыльная торговля с помощью фрактальности существует? | чудо природы, с которым я предлагаю вам познакомиться. |
| Открытие первой фрактальной молекулы в природе — математическое чудо | Посмотрите больше идей на темы «фракталы, природа, закономерности в природе». |
Фракталы. Чудеса природы. Поиски новых размерностей
Фрактальные формы в природе Где встречаются фракталы в природе? Фракталы как узоры и формы, повторяющие себя в разных масштабах, находим в живой и неживой природе. Это — деревья, реки, горы, растения, системы живых организмов и структуры Вселенной. В живой природе каждому известны проявления фракталов: Кроны деревьев разветвляются на все более мелкие и тонкие ветви. Похожи на них сети жилок листьев. Аналогичное разветвление наблюдается в строении кровеносной, нервной, дыхательной системы человека и многих животных. Фрактальные формы ярко проявляются в строении ананасов, цветной капусты романеско, а также в спиралевидных бутонах цветов. Повторяются в себе множество раз формы кораллов, морских звезд, ракушек, улиток. Еще больше фракталов создано неживой природой: Снежинки и морозные узоры на стекле построены кристаллическими структурами, повторяемыми много раз. В молнии раскрывается структура, в которой каждая ветвь — это копия всей формы.
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур таких как окружность, эллипс, график гладкой функции : если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину. Является самоподобным или приближённо самоподобным. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Наша природа удивительна и у нее есть свои закономерности, которые ученые постоянно изучают. Одним из таких исследований является изучение фракталов в природе. Благодаря спутниковым снимкам мы также можем полюбоваться красотой нашей планеты и необычными рисунками, сделанными природой в разных странах.
Поэтому история открытия фракталов — в значительной степени биография Бенуа Мандельброта, хотя частные случаи фракталов множества Жюлиа, снежинка Коха и функция Вейерштрасса были известны и раньше. Но только Мандельброт увидел что-то общее в этих примерах и дал им описание. Бенуа Мандельброт. Фото: Yale University, www. В начале 60-х годов Мандельброт занимался экономикой, изучал динамику цен на хлопок. В то время почти все экономисты считали, что в долгосрочной перспективе цены зависят от внешних факторов, а в краткосрочной колеблются случайным образом. Однако Мандельброт сумел разглядеть в динамике цен закономерность — она практически не зависела от масштаба! Говоря другими словами, изменения цен за год и за месяц на графиках выглядели как две практически одинаковые кривые, несмотря на прошедшие за рассматриваемый период две мировые войны. Множество Жюлиа, www. В то же время научным сообществом его исследования воспринимались как нечто недостойное внимания. Отчасти это происходило из-за недостаточной на тот момент формальности теории, отчасти — из-за ее разрозненности. Большинство ученых просто не понимали, как и для чего можно применять эту теорию. Однако это не помешало ее дальнейшему развитию. Функция Вейерштрасса. Иллюстрация: Eeyore22, www. Сама же теория проделала долгий путь от рисования занимательных и необычных фигур и поиска их аналогов в реальном мире до практического использования при решении серьезных научных задач. Например, одно из свойств фракталов основано на их способности иметь дробную размерность. Рассмотрим в качестве примера необычную кривую Гильберта с размерностью, очень близкой к 2, и нарисуем ее на плоскости. Она будет настолько извилистой, что полностью займет всю предоставленную ей плоскость, при этом оставаясь кривой с бесконечной длиной. Аналогично можно представить объемную структуру с небольшим объемом и бесконечной площадью — это человеческие легкие. Способность поглощать кислород напрямую зависит от площади дыхательной поверхности легких, но при этом они должны занимать относительно небольшой объем. Именно поэтому небольшие человеческие легкие имеют дыхательную поверхность большую, чем стандартный теннисный корт. Теорию фракталов используют в материаловедении. Шероховатости и неровности, остающиеся на поверхности любого металла после его полировки или изготовления, имеют фрактальную природу. И более того, по ним можно предсказать прочностные характеристики металла — существует прямая зависимость между фрактальной размерностью и энергией, необходимой для разрушения металла.