Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Примерами незатухающих колебаний могут служить колебания маятника или звуковой волны, распространяющейся в открытом пространстве. Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника.
Гармонические колебания и их характеристики.
| Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания | Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. |
| Гармонические колебания и их характеристики. | Примеры незатухающих колебаний в реальной жизни Незатухающие колебания встречаются во множестве различных систем и ситуаций в реальной жизни. |
| Что такое незатухающие колебания | Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых со временем уменьшается из-за внешней силы или трения, в то время как незатухающие колебания продолжаются неопределенно долго с постоянной амплитудой. |
| Kvant. Незатухающие колебания — PhysBook | Примерами незатухающих колебаний являются колебания в маятниках, электрических схемах, контурах RLC и др. |
| Явление резонанса | Примеры незатухающих колебаний Незатухающие колебания встречаются в различных физических системах и процессах. |
Гармонические колебания и их характеристики.
Самым простым видом колебаний являются свободные незатухающие колебания. Другим примером незатухающих колебаний являются электромагнитные колебания в контуре с постоянными параметрами. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. Биологические незатухающие колебания Незатухающие колебания встречаются не только в физических системах, но и в биологических организмах.
Гармонические колебания и их характеристики.
Одним словом, дополнительная ЭДС должна быть такой, чтобы скомпенсировать потери энергии в контуре. А как можно повлиять на величину М? Оказывается, она увеличится, если намотать побольше витков в дополнительной катушке или если эту катушку расположить поближе к катушке контура. Нужно сказать, что достаточный для генерации коэффициент М на практике получить довольно просто. Лучше выбрать эту величину с некоторым запасом — при этом получится контур не только без потерь, но даже с подкачкой энергии от внешнего источника с «отрицательными» потерями.
При включении генератора амплитуда колебаний сначала будет возрастать, но через некоторое время установится — энергия, поступающая в контур за один период, станет равной потерям энергии за то же время. И действительно, при увеличении амплитуды напряжения на конденсаторе управляющее напряжение полевого транзистора транзистор начинает усиливать хуже, поскольку при большом отрицательном напряжении ток в цепи канала прекращается, а при положительных напряжениях переход начинает открываться, что тоже увеличивает потери в контуре. В результате колебания получаются не совсем синусоидальными, но, если потери в контуре невелики, искажения незначительны. Для того чтобы использовать полученные колебания — а ведь именно для этого и делается генератор,— нужно либо подключиться непосредственно к контуру, либо намотать еще одну катушку.
Но в обоих случаях необходимо учесть «уход» энергии из контура и скомпенсировать его в числе прочих потерь.
Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. Такие устройства называются автоколебательными системами. На рис. Груз висит на пружине, нижний конец которой погружается при колебаниях этого пружинного маятника в чашечку со ртутью. Один полюс батареи присоединен к пружине наверху, а другой — к чашечке со ртутью. При опускании груза электрическая цепь замыкается и по пружине проходит ток.
Витки пружины благодаря магнитному полю тока начинают при этом притягиваться друг к другу, пружина сжимается, и груз получает толчок кверху. Тогда контакт разрывается, витки перестают стягиваться, груз опять опускается вниз, и весь процесс повторяется снова. Таким образом, колебание пружинного маятника, которое само по себе затухало бы, поддерживается периодическими толчками, обусловленными самим колебанием маятника. При каждом толчке батарея отдает порцию энергии, часть которой идет на подъем груза. Система сама управляет действующей на нее силой и регулирует поступление энергии из источника — батареи. Колебания не затухают именно потому, что за каждый период от батареи отбирается как раз столько энергии, сколько расходуется за то же время на трение и другие потери. Что же касается периода этих незатухающих колебаний, то он практически совпадает с периодом собственных колебаний груза на пружине, т.
В качестве источника можно использовать обычную батарейку, а в качестве регулирующего устройства — электронную лампу или транзистор.
Любой полевой транзистор содержит «канал» с двумя выводами — их изобретательно называют истоком и стоком, а его проводимость регулируется подачей на третий вывод — затвор — управляющего напряжения рис. В полевом транзисторе с управляющим p—n-переходом — а мы дальше будем говорить именно о нем — затвор отделен от канала именно таким переходом, для чего область затвора делается противоположного по отношению к каналу типа проводимости. Например, если канал имеет примесную проводимость типа p, то затвор — типа n, и наоборот. Зависимость эта почти такая же, как и у электронной лампы триода. Важно отметить, что управляющее напряжение — запирающее, а значит, ток в цепи управления чрезвычайно мал обычно он составляет несколько наноампер , соответственно мала и мощность управления, что очень хорошо. Для генератора существенны и отклонения от линейности, но об этом позже. Одним словом, дополнительная ЭДС должна быть такой, чтобы скомпенсировать потери энергии в контуре. А как можно повлиять на величину М?
Оказывается, она увеличится, если намотать побольше витков в дополнительной катушке или если эту катушку расположить поближе к катушке контура. Нужно сказать, что достаточный для генерации коэффициент М на практике получить довольно просто.
Кроме того, энергетический запас частично расходуется на передачу движения окружающей среде — груз или колеблющийся на нитке шар заставляют молекулы окружающего воздуха перемещаться. Деформация вибрирующей пластины, пружины, растягивание нитки отбирает у контура часть внутренней энергии из-за трения в них самих. Свободные незатухающие колебания или собственные характерны для идеальной системы, где отсутствует трение. Они актуальны для упрощения решения практических задач: где не требуется высокая точность; поставленных с целью обучения школьников решать их; в системах, которые совершают много циклов до заметного снижения амплитуды. Незатухающие колебания превращается в затухающие, когда возникает потеря энергии. График затухающих колебаний выглядит следующим образом.
Незатухающие колебания. Автоколебания
Рассмотрим динамику собственных незатухающих колебаний пружинного маятника. ударь по своему стоячему члену, вот пример колебаний которые затухают. Биологические незатухающие колебания Незатухающие колебания встречаются не только в физических системах, но и в биологических организмах. Примеры незатухающих колебаний в реальной жизни Незатухающие колебания встречаются во множестве различных систем и ситуаций в реальной жизни. Рассмотрим динамику собственных незатухающих колебаний пружинного маятника. Это такие колебания при которых они исчезают, поскольку энергия колебаний преобразуется в другие формы энергии.
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
| Незатухающие колебания. Автоколебания | Основы физики сжато и понятно | Дзен | Примерами незатухающих колебаний являются осцилляции маятника, электромагнитные колебания в контуре, а также световые волны, распространяющиеся в оптических волокнах. |
| Что такое незатухающие колебания | Колебания бывают незатухающими и затухающими. |
| Свободные незатухающие колебания: понятие, описание, примеры | Самым простым видом колебаний являются свободные незатухающие колебания. |
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
Акустический резонанс С исследования именно этого вида резонанса всё и началось! Галилео Галилей в 1602 году исследовал маятники и струны различных музыкальных инструментов. Открытия, сделанные им, позволили сделать ряд выводов и создать новую отрасль физики — учение о звуковых колебаниях. Акустический резонанс — это явление, при котором акустическая система усиливает звуковые волны, частота которых совпадает с одной из ее собственных частот вибрации ее резонансными частотами.
Благодаря акустическому резонансу музыкальные инструменты способны работать, воспроизводить звучание особенным образом. Большую роль в этом играет форма инструмента. Звук, который издает струна, попадает внутрь корпуса и вступает там в резонанс со стенками, что в итоге многократно усиливает его.
Грушевидная форма гитары, определенная длина флейты, форма барабана не являются результатом случайного выбора — с древних времен, путем проб и экспериментов, именно это строение каждого инструмента было выбрано из-за наилучшего акустического резонанса. Характеристики струны также влияют на этот показатель: акустический резонанс зависит от длины, массы и силы натяжения струны. Формула для расчета частоты резонанса в акустике: где — сила натяжения, — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны.
Подписаться Ликбез: почему периодические колебания затухают О том, что свободные колебания являются затухающими, известно из школьного курса физики. Почему они затухают, и возможно ли существование незатухающих колебаний? Колебания представляют собой состояние системы вокруг определенного положения равновесия. Для их начала системе необходим первоначальный импульс. А в последующем система может вести себя по-разному: как сразу вернуться в состояние равновесия, так и совершать определенное количество колебательных движений. Описанные виды колебаний носят название вынужденных и свободных.
Первые совершаются под влиянием внешней силы, а вторые — под влиянием внутренних сил. Под затуханием свободных колебаний принято понимать плавное снижение амплитуды колебаний с течением времени.
Большую роль в этом играет форма инструмента. Звук, который издает струна, попадает внутрь корпуса и вступает там в резонанс со стенками, что в итоге многократно усиливает его.
Грушевидная форма гитары, определенная длина флейты, форма барабана не являются результатом случайного выбора — с древних времен, путем проб и экспериментов, именно это строение каждого инструмента было выбрано из-за наилучшего акустического резонанса. Характеристики струны также влияют на этот показатель: акустический резонанс зависит от длины, массы и силы натяжения струны. Формула для расчета частоты резонанса в акустике: где — сила натяжения, — масса единицы длины струны, а m — полная масса струны. Акустический резонанс играет большую роль и для нашего слуха.
Благодаря нему наружное ухо усиливает звуки средней частоты, составляющие основную часть спектра речи, а также различает высоту звука и его тембр. Полезно знать Сегодня мы затронули понятие общественного и когнитивного резонанса, но не объяснили значение этих выражений. Общественный резонанс — событие, на которое общество дает яркий отклик. Когнитивный резонанс — полное совпадение во взглядах и мнениях.
Подписаться Ликбез: почему периодические колебания затухают О том, что свободные колебания являются затухающими, известно из школьного курса физики. Почему они затухают, и возможно ли существование незатухающих колебаний? Колебания представляют собой состояние системы вокруг определенного положения равновесия. Для их начала системе необходим первоначальный импульс. А в последующем система может вести себя по-разному: как сразу вернуться в состояние равновесия, так и совершать определенное количество колебательных движений. Описанные виды колебаний носят название вынужденных и свободных. Первые совершаются под влиянием внешней силы, а вторые — под влиянием внутренних сил. Под затуханием свободных колебаний принято понимать плавное снижение амплитуды колебаний с течением времени.
Приведи пример вариантов незатухающих колебаний
Примеры незатухающих колебаний Незатухающие колебания встречаются в различных системах и процессах. Главная» Новости» Незатухающие колебания примеры. Примерами незатухающих колебаний могут служить колебания маятника или звуковой волны, распространяющейся в открытом пространстве. Незатухающими колебаниями называют гармонические колебания с постоянной амплитудой. Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Главная» Новости» Незатухающие колебания примеры.
Ликбез: почему периодические колебания затухают
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Частота и период зависят от степени затухания колебаний. Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний. Механические затухающие колебания Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения. Силы, действующие на маятник: Упругая сила. Сила сопротивления.
Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления :. Знак "минус" показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Учитывая, что , запишем второй закон Ньютона в виде:. В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда с. Частота — количество колебаний, совершенных в единицу времени. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м.
Амплитуда колебаний равна 10 см. Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2.
Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1—2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3.
И в это время он проходит расстояние 2—3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение состояние 1 , нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3—2, затем 2—1. Груз немного смещают от положения равновесия вдоль оси пружины и отпускают из состояния покоя, после чего он начинает колебаться, двигаясь вдоль оси пружины, параллельно которой направлена ось Ox. В таблице приведены значения координаты груза х в различные моменты времени t.
Выберите все верные утверждения о результатах этого опыта на основании данных, содержащихся в таблице.
Дальнейшие исследования незатухающих колебаний позволят расширить возможности науки и техники. Колебания в окружающем мире Незатухающие колебания широко распространены в природе, быту, технике. Давайте рассмотрим некоторые примеры: Колебания в живой природе. В организмах постоянно происходят колебательные процессы - пульс, дыхание, электрическая активность мозга.
Ритмические сокращения сердечной мышцы обеспечивают кровообращение. Вдохи и выдохи создают колебательные движения воздуха в легких. Звуковые колебания. Звук представляет собой упругие волны в воздухе, возникающие при колебаниях источника. Музыкальные инструменты.
Струнные, духовые, ударные инструменты создают музыкальные звуки за счет колебаний. Звуки речи образуются колебаниями голосовых связок и резонаторов речевого аппарата. Бытовые колебательные процессы. Многие привычные вещи в быту работают за счет колебаний. Маятник часов совершает строго периодические колебания.
Мобильный телефон. Антенна телефона излучает и принимает радиоволны благодаря электромагнитным колебаниям. Колебания в технических устройствах. Незатухающие колебания лежат в основе работы многих технических систем. Генераторы колебаний.
Генераторы создают электрические колебания с помощью резонаторов и усилителей. Кварцевые генераторы. Кварцевые резонаторы обеспечивают высокую стабильность частоты благодаря пьезоэлектрическому эффекту.
Электромагнитные колебания Это периодические изменения с течением времени электрических и магнитных величин. Электромагнитные колебания можно сравнить с колебаниями маятника. При этом электрической энергии соответствует потенциальная энергия маятника, а магнитной энергии кинетическая. Колебания, происходящие под действием процессов в самом колебательном контуре без внешних воздействий и потерь энергии на теплоту и электромагнитное излучение, называются собственными электромагнитными колебаниями. Частным случаем электромагнитных колебаний являются незатухающие колебания. Незатухающие колебания Колебания, амплитуда которых не убывает со временем, а остается постоянной. Возбуждение незатухающих электрических колебаний Для возбуждения и поддержания незатухающих электрических колебаний к контуру следует все время подводить энергию от внешнего источника, которая компенсировала бы потери энергии на теплоту и электромагнитное излучение.
Характеристика затухающих колебаний, какие колебания называют затухающими
Эта величина зависит только от свойств колебательной системы в рассматриваемом случае - от массы тела и жесткости пружины. Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы m, k и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени. При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники теория этих вопросов не рассматривается рис. Математический маятник - небольшое тело материальная точка , подвешенное на невесомой нити рис. Математический маятник а , физический маятник б Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 1.
Период колебаний физического маятника описывается формулой где J - момент инерции тела относительно оси, m - масса, h - расстояние между центром тяжести точка С и осью подвеса точка О. Момент инерции - это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения.
Так, например, механическая работа, производимая при изменении емкости конденсатора в моменты раздвижения его пластин, приводит к изменению запаса электростатической энергии и, следовательно, общего запаса энергии колебаний в контуре. Заметим, что параметрическое возбуждение колебаний возможно лишь при изменении одного из энергоемких параметров, С или с которыми связана энергия электрического и магнитного поля.
Очевидно, что изменение диссипативного параметра не может вызвать раскачки колебаний. В заключение отметим еще раз основные различия вынужденных колебаний и параметрического резонанса. Резонанс при вынужденных колебаниях возникает при со или с целым при возбуждении короткими толчками , но сами колебания существуют при любой частоте внешнего воздействия. В случае параметрического воздействия колебания возникают лишь при выполнении соотношения со Резонанс при вынужденных колебаниях вызывает любая, сколь угодно малая внешняя сила.
Для возникновения параметрического резонанса амплитуда внешнего воздействия должна превышать некоторое пороговое значение. Чем они отличаются друг от друга? Какие элементы должна обязательно содержать автоколебательная система? Каковы их функции?
Что такое обратная связь? От чего зависит их частота и амплитуда? Докажите, что при любых начальных условиях в рассмотренной механической модели автоколебательной системы фазовая траектория постепенно приближается к предельному циклу изнутри или извне, нигде его не пересекая. Что будет, если переключить поменять местами концы одной из этих катушек?
Релаксационные колебания. Во всех упоминавшихся выше примерах автоколебательных систем обязательным элементом являлся резонатор. Другими словами, в отсутствие обратной связи в этих системах возможны собственные затухающие колебания. При наличии обратной связи в них устанавливаются самоподдерживающиеся почти синусоидальные колебания.
Частота таких колебаний задается резонатором. Но автоколебания могут происходить и в системах, не содержащих резонатора. Колебания при этом, как правило, не являются гармоническими. Типичный пример релаксационных колебаний Типичными примерами таких систем могут служить генератор пилообразных колебаний на неоновой лампе и гидравлическое устройство, показанное на рис.
В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания например, маятник настенных часов. Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника.
На рис. Рисунок 2. Функциональная схема автоколебательной системы Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом рис.
Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей.
Дифференциальное уравнение получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии. Уравнение колебаний — это решение дифференциального уравнения. Амплитуда зависит от времени. Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Свободные незатухающие колебания
Уравнение незатухающих колебаний Незатухающие колебания являются одним из видов колебаний, при которых отсутствует потеря энергии со временем. Еще одним примером незатухающих колебаний является свободное колебание механической системы с одной степенью свободы. О сервисе Прессе Авторские права Связаться с нами Авторам Рекламодателям Разработчикам. Примеры незатухающих колебаний в природе 1. Плазменные колебания: В плазме, которая является четвертым состоянием вещества, происходят незатухающие колебания.
Свободные незатухающие колебания: понятие, описание, примеры
| Что такое незатухающие колебания | Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). |
| Затухающие и незатухающие колебания: разница и сравнение | Примеры применения: Электроника: Незатухающие колебания используются в радиоэлектронике для создания точных частотных генераторов. |
| Kvant. Незатухающие колебания — PhysBook | Незатухающие колебания создаются такими устройствами, которые сами могут поддерживать свои колебания за счет некоторого постоянного источника энергии. |
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:. В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных. Частота затухающих колебаний: физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому. Период затухающих колебаний:. Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее:. Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении. Для механической системы пружинного маятника имеем: , , для пружинного маятника.
Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить. При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период. Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях: Свободные незатухающие механические колебания. Свободными или собственными называются колебания, которые совершает система около положения равновесия после того, как она каким-либо образом была выведена из состояния устойчивого равновесия и представлена самой себе. Как только тело или система выводится из положения равновесия, сразу же появляется сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.
Вычисляется момент инерции по специальным формулам. Гармонические колебания и их характеристики. Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени, то есть колебания - периодические изменения какой-либо величины. В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные или собственные колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, изменяющихся при колебаниях системы, повторяются через равные промежутки времени. Период - это время, за которое совершается одно полное колебание: ,.
Разделим это выражение на массу m и получим выражение для ускорения колеблющегося тела:. Записав это выражение для ускорения, мы вплотную приблизились к главной задаче механики для гармонических колебаний ведь сюда входит x, а мы знаем, что ускорение зависит от времени, то есть время сюда входит неявно. Решить такое уравнение строго математически мы пока не умеем, такие уравнения называются дифференциальными. Строгое решение такого уравнения мы запишем в 11 классе, а я отмечу тот факт, что решение будет выражаться периодическим законом — законом синуса или косинуса. А сейчас только обсудим, к какому результату приводит такое вот решение главной задачи для гармонических колебаний. Обратите внимание, что у нас ускорение зависит от координаты x и в этой зависимости есть некоторая величина. Так вот это отношение равно квадрату угловой частоты колебания системы:. Это доказательство мы получим в 11 классе. Таким образом, если нам при решении задачи удается представить второй закон Ньютона в виде , то мы автоматически узнаем угловую частоту колебаний, а, зная угловую частоту, мы можем вычислить линейную частоту или период колебаний:. Только что мы получили выражение для угловой частоты пружинного маятника, аналогичным образом можно получить выражение для угловой частоты математического маятника, естественно, там роль этого коэффициента будут выполнять другие величины. Об этом вы узнаете, если посмотрите ответвление к уроку. Зависимость E t при свободных колебаниях Вы уже знаете, что энергия во время колебаний непрерывно меняется: кинетическая переходит в потенциальную и наоборот. Логично, что так же, как и координата, скорость, и ускорение, энергия будет меняться по гармоническому закону. Убедимся в этом. Давайте рассмотрим превращение колебаний на примере математического маятника, но расчеты будем вести для пружинного маятника — в данном случае это проще. Итак, как же происходит превращение энергии при колебаниях маятника? В верхней точке максимальна потенциальная энергия, а кинетическая равна 0 см. Верхняя точка математического маятника Когда отпустим маятник, он начнет колебаться. Рассмотрим маятник, когда он проходит положение равновесия: здесь кинетическая максимальная, а потенциальная 0. Потенциальная энергия равна 0, потому что мы выберем именно этот уровень см. Уровень нулевой потенциальной энергии Дальше происходит обратное превращение энергии: кинетическая начинает падать, а потенциальная увеличиваться и так происходит постоянно. Теперь попытаемся вывести закон, по которому меняются потенциальная и кинетическая энергии см. Изменение энергий Потенциальная энергия пружинного маятника имеет вид: , где k — коэффициент жесткости пружины, x — координата. Кинетическая энергия:. Координата меняется по такому закону:. Скорость тоже изменяется по гармоническому закону:. Подставим выражение для координаты и для скорости в формулы для энергий и получим закон, по которому изменяется со временем энергия потенциальная и кинетическая для пружинного маятника:. Для математического маятника формула для кинетической энергии будет идентичной, а для потенциальной, с математической точки зрения, тоже похожей, но перед значением косинуса будет стоять другой коэффициент. Так как квадрат величины всегда неотрицательная величина, то график см.